【高等代数习题及答案】在学习高等代数的过程中，习题练习是巩固知识、提升解题能力的重要手段。通过系统的练习，不仅可以加深对概念的理解，还能提高逻辑思维能力和数学表达能力。本文将提供一些典型的高等代数习题及其解答，帮助学生更好地掌握相关知识点。
一、线性方程组
题目1：
求解以下线性方程组：
$$
\begin{cases}
x + 2y - z = 3 \\
2x - y + 3z = 1 \\
3x + y + 2z = 4
\end{cases}
$$
解答：
我们可以使用消元法或矩阵方法进行求解。这里采用高斯消元法。
将系数矩阵和常数项写成增广矩阵：
$$
\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -1 & 3 \\
2 & -1 & 3 & 1 \\
3 & 1 & 2 & 4
\end{array}\right]
$$
第一步：用第一行消去第二行和第三行的第一个元素。
- 第二行：第二行 - 2×第一行
- 第三行：第三行 - 3×第一行
得到：
$$
\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -1 & 3 \\
0 & -5 & 5 & -5 \\
0 & -5 & 5 & -5
\end{array}\right]
$$
观察发现，第二行与第三行完全相同，说明该方程组有无穷多解。设 $ z = t $（自由变量），则由第二行得：
$$
-5y + 5t = -5 \Rightarrow y = t + 1
$$
再代入第一行：
$$
x + 2(t + 1) - t = 3 \Rightarrow x + 2t + 2 - t = 3 \Rightarrow x + t = 1 \Rightarrow x = 1 - t
$$
因此，通解为：
$$
x = 1 - t, \quad y = t + 1, \quad z = t
$$
二、矩阵与行列式
题目2：
计算下列矩阵的行列式：
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}
$$
解答：
利用行列式的定义或展开法进行计算。
按第一行展开：
$$
\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix}5 & 6 \\ 8 & 9\end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix}4 & 6 \\ 7 & 9\end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix}4 & 5 \\ 7 & 8\end{vmatrix}
$$
分别计算每个二阶行列式：
- $ \begin{vmatrix}5 & 6 \\ 8 & 9\end{vmatrix} = 5 \times 9 - 6 \times 8 = 45 - 48 = -3 $
- $ \begin{vmatrix}4 & 6 \\ 7 & 9\end{vmatrix} = 4 \times 9 - 6 \times 7 = 36 - 42 = -6 $
- $ \begin{vmatrix}4 & 5 \\ 7 & 8\end{vmatrix} = 4 \times 8 - 5 \times 7 = 32 - 35 = -3 $
代入原式：
$$
\det(A) = 1 \times (-3) - 2 \times (-6) + 3 \times (-3) = -3 + 12 - 9 = 0
$$
因此，该矩阵的行列式为 0，说明矩阵是奇异矩阵，不可逆。
三、特征值与特征向量
题目3：
求矩阵：
$$
B = \begin{bmatrix}
2 & 1 \\
1 & 2
\end{bmatrix}
$$
的特征值和对应的特征向量。
解答：
首先求特征方程：
$$
\det(B - \lambda I) = 0
\Rightarrow \begin{vmatrix}
2 - \lambda & 1 \\
1 & 2 - \lambda
\end{vmatrix} = 0
$$
计算行列式：
$$
(2 - \lambda)^2 - 1 = 0 \Rightarrow (2 - \lambda)^2 = 1 \Rightarrow 2 - \lambda = \pm 1
$$
解得：
- $ \lambda_1 = 1 $
- $ \lambda_2 = 3 $
对应特征向量：
对于 $ \lambda_1 = 1 $：
$$
(B - I)\vec{x} = 0 \Rightarrow \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = 0
\Rightarrow x + y = 0 \Rightarrow y = -x
$$
所以，特征向量可以取为 $ \vec{v}_1 = \begin{bmatrix}1 \\ -1\end{bmatrix} $
对于 $ \lambda_2 = 3 $：
$$
(B - 3I)\vec{x} = 0 \Rightarrow \begin{bmatrix}
-1 & 1 \\
1 & -1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = 0
\Rightarrow -x + y = 0 \Rightarrow y = x
$$
所以，特征向量可以取为 $ \vec{v}_2 = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix} $
结语
高等代数作为数学基础课程之一，内容广泛且逻辑性强。通过不断练习典型习题，不仅能增强对知识的掌握，也能提升分析问题和解决问题的能力。希望以上习题及答案能对你的学习有所帮助。
