在高中数学的学习过程中，三角函数是一个重要的知识点模块，它不仅在理论研究中有广泛应用，同时也是解决实际问题的重要工具。为了帮助同学们更好地掌握这一部分知识，下面将通过一系列精选练习题，对三角函数的基本概念、公式及应用进行系统性的回顾与巩固。
一、基础知识回顾
1. 定义与性质
- 正弦函数 \(y = \sin x\) 和余弦函数 \(y = \cos x\) 的周期均为 \(2\pi\)。
- 正切函数 \(y = \tan x\) 的周期为 \(\pi\)，且其定义域需排除使分母为零的点（即 \(x \neq k\pi + \frac{\pi}{2}, k \in Z\)）。
2. 诱导公式
- 利用单位圆或周期性可推导出如下的基本诱导公式：
\[
\sin(-x) = -\sin x, \quad \cos(-x) = \cos x, \quad \tan(-x) = -\tan x
\]
- 对于任意角 \(\alpha\)，有：
\[
\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha, \quad \cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha, \quad \tan(\pi - \alpha) = -\tan \alpha
\]
3. 和差化积与积化和差
- 公式如下：
\[
\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)
\]
\[
\sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)
\]
二、典型练习题
题目1
已知 \(\sin \theta = \frac{3}{5}\)，且 \(\theta\) 位于第二象限，求 \(\cos \theta\) 和 \(\tan \theta\) 的值。
题目2
证明：对于任意实数 \(x\)，都有 \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)。
题目3
若 \(\tan x = 2\)，求 \(\sin x\) 和 \(\cos x\) 的值。
题目4
计算 \(\sin 75^\circ\) 的精确值。
题目5
设 \(\alpha\) 为锐角，且满足 \(\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2}\)，求 \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha\) 的值。
三、解题思路解析
1. 题目1
根据已知条件，利用勾股定理可以求得 \(\cos \theta\) 的绝对值为 \(\frac{4}{5}\)。结合 \(\theta\) 在第二象限的特点，确定 \(\cos \theta < 0\)，从而得到 \(\cos \theta = -\frac{4}{5}\)。进一步利用商数关系 \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) 可得 \(\tan \theta = -\frac{3}{4}\)。
2. 题目2
这是三角函数的基本恒等式之一，可通过构造直角三角形或使用单位圆的方法加以验证。
3. 题目3
已知 \(\tan x = 2\)，意味着对边与邻边的比例为 \(2:1\)。设对边长为 \(2k\)，邻边长为 \(k\)，则斜边长为 \(\sqrt{(2k)^2 + k^2} = \sqrt{5}k\)。由此可得 \(\sin x = \frac{2}{\sqrt{5}}\)，\(\cos x = \frac{1}{\sqrt{5}}\)。
4. 题目4
将 \(75^\circ\) 分解为 \(45^\circ + 30^\circ\)，然后利用和角公式展开即可。
5. 题目5
将 \(\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2}\) 平方后整理，结合平方和公式 \((\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha\)，最终可求得 \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha\) 的值。
四、总结
通过以上练习题的解答，我们不仅复习了三角函数的核心知识点，还掌握了多种解题技巧。希望同学们能够灵活运用这些方法，在未来的考试中取得优异的成绩！
