【期望和方差】在概率论与统计学中，期望和方差是描述随机变量核心特征的两个重要概念。它们分别反映了随机变量的“平均值”和“波动性”，对于数据分析、风险评估以及决策制定具有重要意义。
一、期望（Expected Value）
定义：
期望是随机变量在大量重复试验中取值的平均结果，表示随机变量的“中心位置”。
数学表达式：
对于离散型随机变量 $ X $，其期望为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i)
$$
对于连续型随机变量 $ X $，其期望为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
其中，$ P(x_i) $ 是 $ x_i $ 的概率，$ f(x) $ 是概率密度函数。
意义：
期望可以看作是随机事件长期趋势的代表值，常用于预测或平均收益计算。
二、方差（Variance）
定义：
方差衡量的是随机变量与其期望之间的偏离程度，反映数据的“离散程度”。
数学表达式：
方差的计算公式为：
$$
\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2
$$
也可以简化为：
$$
\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
意义：
方差越大，说明数据越分散；方差越小，说明数据越集中。在金融、工程等领域，方差常用来衡量风险或不确定性。
三、期望与方差的关系
| 特征 | 期望（Expectation） | 方差（Variance） |
| 定义 | 随机变量的平均值 | 随机变量与均值的偏离程度 |
| 表达式 | $ E(X) $ | $ \text{Var}(X) $ |
| 意义 | 中心位置 | 离散程度 |
| 单位 | 与随机变量相同 | 与随机变量平方相同 |
| 应用 | 预测、平均收益 | 风险评估、稳定性分析 |
四、实际应用举例
例1：掷骰子
假设一个公平的六面骰子，每个面出现的概率均为 $ \frac{1}{6} $。
- 期望：
$$
E(X) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3.5
$$
- 方差：
先计算 $ E(X^2) $：
$$
E(X^2) = \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2}{6} = \frac{91}{6} \approx 15.17
$$
再计算方差：
$$
\text{Var}(X) = 15.17 - (3.5)^2 = 15.17 - 12.25 = 2.92
$$
例2：股票投资
某股票在过去一年中的收益率分别为：10%、8%、12%、5%、7%。
- 期望收益率：
$$
E(R) = \frac{10 + 8 + 12 + 5 + 7}{5} = 8.4\%
$$
- 方差：
先计算每个收益率与期望的差的平方，再求平均：
$$
\text{Var}(R) = \frac{(10-8.4)^2 + (8-8.4)^2 + (12-8.4)^2 + (5-8.4)^2 + (7-8.4)^2}{5} \approx 4.64
$$
五、总结
期望和方差是统计学中不可或缺的两个指标，它们共同描述了随机变量的基本特性。期望提供了一个“平均”的参考点，而方差则揭示了数据的波动情况。在实际问题中，两者常常结合使用，以更全面地理解数据的分布和潜在风险。
通过合理运用期望和方差，我们可以更好地进行数据分析、风险控制和科学决策。
以上就是【期望和方差】相关内容，希望对您有所帮助。
