【等比数列的通项公式和求和公式】在数列的学习中，等比数列是一个重要的知识点。它不仅在数学中具有广泛的应用，也在实际生活中如金融、物理、计算机等领域频繁出现。掌握等比数列的通项公式与求和公式，是解决相关问题的关键。
等比数列是指每一项与前一项的比值为常数的数列，这个常数称为公比（记作 $ q $）。等比数列的基本特点是：从第二项开始，每一项都是前一项乘以一个固定值。
一、等比数列的通项公式
等比数列的通项公式用于计算数列中任意一项的值。设首项为 $ a_1 $，公比为 $ q $，则第 $ n $ 项 $ a_n $ 的表达式为：
$$
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
$$
该公式表明，第 $ n $ 项等于首项乘以公比的 $ (n-1) $ 次方。
二、等比数列的求和公式
等比数列的求和公式用于计算前 $ n $ 项的和，记作 $ S_n $。根据公比 $ q $ 的不同情况，分为两种情况：
1. 当 $ q \neq 1 $ 时：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}
$$
或等价地：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}
$$
这两个公式在形式上略有不同，但本质相同，适用于公比不为1的情况。
2. 当 $ q = 1 $ 时：
此时，所有项都相等，即 $ a_1, a_1, a_1, \ldots $，因此前 $ n $ 项和为：
$$
S_n = n \cdot a_1
$$
三、总结对比表
| 内容 | 公式 | 说明 |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $ | 计算第 $ n $ 项的值 |
| 求和公式（$ q \neq 1 $） | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} $ 或 $ S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} $ | 计算前 $ n $ 项的和 |
| 求和公式（$ q = 1 $） | $ S_n = n \cdot a_1 $ | 所有项相等时的特殊情况 |
四、应用举例
例如，已知等比数列首项 $ a_1 = 2 $，公比 $ q = 3 $，求第5项及前5项和：
- 第5项：
$$
a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 81 = 162
$$
- 前5项和：
$$
S_5 = 2 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{243 - 1}{2} = 2 \cdot 121 = 242
$$
通过理解并熟练运用等比数列的通项公式和求和公式，可以更高效地解决各类数列问题，提升数学思维能力和实际应用能力。
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