【辗转相除法的原理】在数学中，求两个正整数的最大公约数（GCD）是一个常见的问题。而“辗转相除法”是解决这一问题的经典算法之一，它由古希腊数学家欧几里得提出，因此也被称为“欧几里得算法”。该方法通过反复进行除法运算，逐步缩小数值范围，最终找到两数的最大公约数。
一、辗转相除法的基本原理
辗转相除法的核心思想是利用以下等式：
> 如果 $ a $ 和 $ b $ 是两个正整数，且 $ a > b $，那么
> $ \gcd(a, b) = \gcd(b, a \mod b) $
这个过程不断重复，直到余数为零时，此时的非零除数就是这两个数的最大公约数。
二、具体步骤说明
1. 输入两个正整数 $ a $ 和 $ b $（假设 $ a > b $）。
2. 用较大的数除以较小的数，得到商和余数。
3. 将较小的数与余数进行同样的操作，即用余数去除原来的较小数。
4. 重复上述步骤，直到余数为零。
5. 此时的除数即为最大公约数。
三、示例演示
以求 1071 和 462 的最大公约数为例：
| 步骤 | 被除数 | 除数 | 商 | 余数 |
| 1 | 1071 | 462 | 2 | 147 |
| 2 | 462 | 147 | 3 | 21 |
| 3 | 147 | 21 | 7 | 0 |
当余数为 0 时，停止计算。此时的除数是 21，因此 $ \gcd(1071, 462) = 21 $。
四、总结
| 内容 | 说明 |
| 名称 | 辗转相除法 / 欧几里得算法 |
| 提出者 | 欧几里得（古希腊数学家） |
| 应用领域 | 数论、计算机科学、密码学等 |
| 原理 | 利用 $ \gcd(a, b) = \gcd(b, a \mod b) $ 进行递归或迭代计算 |
| 核心思想 | 不断用余数代替较小的数，直到余数为零 |
| 优点 | 简单高效，适用于大数运算 |
| 缺点 | 对于非常大的数可能需要较多步骤 |
通过这种方法，我们可以在不进行因数分解的情况下快速找到两个数的最大公约数，是数学和编程中非常实用的工具。
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