【反三角函数公式大全】在数学中，反三角函数是三角函数的反函数，主要用于求解角度。它们在微积分、物理、工程等领域有广泛应用。常见的反三角函数包括反正弦（arcsin）、反余弦（arccos）、反正切（arctan）等。以下是对这些函数的基本性质和常用公式的总结。
一、基本定义
| 函数名称 | 表达式 | 定义域 | 值域 |
| 反正弦 | $ y = \arcsin(x) $ | $ x \in [-1, 1] $ | $ y \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] $ |
| 反余弦 | $ y = \arccos(x) $ | $ x \in [-1, 1] $ | $ y \in [0, \pi] $ |
| 反正切 | $ y = \arctan(x) $ | $ x \in \mathbb{R} $ | $ y \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) $ |
二、常用公式
1. 与三角函数的关系
| 公式 | 说明 |
| $ \sin(\arcsin(x)) = x $ | 反函数与原函数互为逆运算 |
| $ \cos(\arccos(x)) = x $ | 同上 |
| $ \tan(\arctan(x)) = x $ | 同上 |
| $ \arcsin(\sin(x)) = x $ | 当 $ x \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] $ 时成立 |
| $ \arccos(\cos(x)) = x $ | 当 $ x \in [0, \pi] $ 时成立 |
| $ \arctan(\tan(x)) = x $ | 当 $ x \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) $ 时成立 |
2. 对称性与奇偶性
| 公式 | 说明 |
| $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $ | 奇函数 |
| $ \arccos(-x) = \pi - \arccos(x) $ | 非奇非偶 |
| $ \arctan(-x) = -\arctan(x) $ | 奇函数 |
3. 互补关系
| 公式 | 说明 |
| $ \arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2} $ | 互补关系 |
| $ \arctan(x) + \arctan\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{2} $（当 $ x > 0 $） | 互补关系 |
| $ \arctan(x) + \arctan\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{\pi}{2} $（当 $ x < 0 $） | 互补关系 |
4. 和差公式
| 公式 | 说明 |
| $ \arcsin(a) + \arcsin(b) = \arcsin\left( a\sqrt{1 - b^2} + b\sqrt{1 - a^2} \right) $ | 条件：$ a^2 + b^2 \leq 1 $ |
| $ \arccos(a) + \arccos(b) = \arccos(ab - \sqrt{(1 - a^2)(1 - b^2)}) $ | 条件：$ a, b \in [-1, 1] $ |
| $ \arctan(a) + \arctan(b) = \arctan\left( \frac{a + b}{1 - ab} \right) $ | 条件：$ ab < 1 $ |
三、导数公式
| 函数 | 导数 |
| $ \frac{d}{dx} \arcsin(x) $ | $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ \frac{d}{dx} \arccos(x) $ | $ -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ \frac{d}{dx} \arctan(x) $ | $ \frac{1}{1 + x^2} $ |
四、积分公式
| 函数 | 积分 |
| $ \int \arcsin(x)\, dx $ | $ x\arcsin(x) + \sqrt{1 - x^2} + C $ |
| $ \int \arccos(x)\, dx $ | $ x\arccos(x) - \sqrt{1 - x^2} + C $ |
| $ \int \arctan(x)\, dx $ | $ x\arctan(x) - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C $ |
五、常见值表
| x | arcsin(x) | arccos(x) | arctan(x) |
| 0 | 0 | $ \frac{\pi}{2} $ | 0 |
| $ \frac{1}{2} $ | $ \frac{\pi}{6} $ | $ \frac{\pi}{3} $ | $ \frac{\pi}{6} $ |
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ | $ \frac{\pi}{4} $ | $ \frac{\pi}{4} $ | $ \frac{\pi}{4} $ |
| $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ | $ \frac{\pi}{3} $ | $ \frac{\pi}{6} $ | $ \frac{\pi}{3} $ |
| 1 | $ \frac{\pi}{2} $ | 0 | $ \frac{\pi}{4} $ |
通过掌握这些反三角函数的基本知识和公式，可以更高效地解决与角度相关的数学问题。在实际应用中，还需注意函数的定义域和值域限制，以确保计算结果的准确性。
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