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三角形的余切定理及其在解高考题中的应用

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2025-07-09 21:25:31

三角形的余切定理及其在解高考题中的应用】在高中数学的学习过程中,三角函数的应用是一个重要且复杂的部分。尤其是在解三角形的问题中,正弦定理、余弦定理是常见的工具。然而,在一些特定的题目中,如果能够灵活运用“余切定理”,往往可以更高效地解决问题,甚至在某些高考真题中起到关键作用。

一、什么是余切定理?

余切定理(Cotangent Theorem)是三角形中一个相对不常被提及但非常有用的公式,它与三角形的边长和角之间的关系密切相关。该定理通常用于已知三角形的三边或两边及夹角时,求出其他角的余切值。

设一个三角形 $ ABC $,其三边分别为 $ a, b, c $,对应的角为 $ A, B, C $,则余切定理可表示为:

$$

\cot A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{4S}

$$

其中,$ S $ 是三角形的面积。类似地,对于角 $ B $ 和 $ C $,也有相应的表达式:

$$

\cot B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{4S}, \quad \cot C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{4S}

$$

这个公式来源于余弦定理和面积公式的结合。通过将余弦定理中的余弦值转换为余切值,可以得到上述形式。

二、余切定理的推导过程

我们以角 $ A $ 为例进行推导。根据余弦定理:

$$

\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

$$

同时,三角形的面积可以用海伦公式或正弦公式表示:

$$

S = \frac{1}{2}bc \sin A

$$

因此,

$$

\sin A = \frac{2S}{bc}

$$

于是,

$$

\cot A = \frac{\cos A}{\sin A} = \frac{\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}}{\frac{2S}{bc}} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{4S}

$$

这便是余切定理的核心表达式。

三、余切定理在高考题中的应用

在高考数学中,三角形的解法常常涉及边角关系的转化,尤其是在涉及面积、角度或边长的综合问题中。以下是一些典型的应用场景:

1. 已知三边求角

当题目给出三角形的三边长度,要求求出某个角的余切值时,可以直接使用余切定理。例如:

例题:

已知三角形三边分别为 $ a=5 $,$ b=7 $,$ c=8 $,求角 $ A $ 的余切值。

解:

首先计算面积 $ S $,可用海伦公式:

$$

s = \frac{5+7+8}{2} = 10

$$

$$

S = \sqrt{10(10-5)(10-7)(10-8)} = \sqrt{10 \times 5 \times 3 \times 2} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}

$$

再代入余切定理:

$$

\cot A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{4S} = \frac{49 + 64 - 25}{4 \times 10\sqrt{3}} = \frac{88}{40\sqrt{3}} = \frac{11}{5\sqrt{3}} = \frac{11\sqrt{3}}{15}

$$

2. 结合面积与边长求角度

在一些综合题中,可能需要通过面积和边长的关系来求角度,此时余切定理可以简化运算步骤。

3. 高考真题解析

例如,某年全国卷中出现过一道题:

> 在△ABC中,已知 $ AB = 3 $,$ AC = 4 $,且 $ \angle BAC = 60^\circ $,求边 $ BC $ 的长度以及角 $ B $ 的余切值。

解法:

先用余弦定理求 $ BC $:

$$

BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos 60^\circ = 9 + 16 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 25 - 12 = 13

\Rightarrow BC = \sqrt{13}

$$

再求面积:

$$

S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}

$$

最后求 $ \cot B $:

$$

\cot B = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{4S} = \frac{16 + 13 - 9}{4 \cdot 3\sqrt{3}} = \frac{20}{12\sqrt{3}} = \frac{5}{3\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{9}

$$

四、总结

余切定理虽然不是教材中重点讲解的内容,但在处理某些类型的三角形问题时,尤其是涉及面积和边角关系的题目中,具有很高的实用价值。掌握这一方法不仅有助于提高解题效率,还能在高考中应对一些较为灵活的题目。

因此,在备考过程中,适当了解并练习余切定理的应用,有助于提升解题的多样性和灵活性,为高考取得优异成绩提供有力支持。

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