【精品（定积分例题解析(2)）】在数学的学习过程中，定积分是一个非常重要的知识点，广泛应用于物理、工程以及经济学等领域。掌握好定积分的计算方法和应用技巧，对于提升数学思维能力和解决实际问题的能力都具有重要意义。本文将通过几个典型例题，深入解析定积分的相关知识，帮助读者更好地理解和运用这一数学工具。
一、定积分的基本概念回顾
定积分是微积分中的核心内容之一，其几何意义是求函数图像与坐标轴之间所围成的面积。数学上，设函数 $ f(x) $ 在区间 $[a, b]$ 上连续，则其在该区间的定积分为：
$$
\int_{a}^{b} f(x)\,dx
$$
定积分的计算通常借助牛顿—莱布尼茨公式，即：
$$
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)
$$
其中 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的一个原函数。
二、经典例题解析
例题1：计算 $\int_{0}^{1} (x^2 + 2x)\,dx$
解法步骤：
1. 找到被积函数的原函数：
$$
\int (x^2 + 2x)\,dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + C
$$
2. 应用定积分公式：
$$
\left[ \frac{x^3}{3} + x^2 \right]_0^1 = \left( \frac{1}{3} + 1 \right) - \left( 0 + 0 \right) = \frac{4}{3}
$$
答案： $\boxed{\dfrac{4}{3}}$
例题2：计算 $\int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x}\,dx$
解法思路：
观察被积函数的形式，可以考虑使用换元法。令 $ u = \ln x $，则 $ du = \frac{1}{x} dx $，当 $ x=1 $ 时，$ u=0 $；当 $ x=e $ 时，$ u=1 $。
因此原式变为：
$$
\int_{0}^{1} u\,du = \left[ \frac{u^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2}
$$
答案： $\boxed{\dfrac{1}{2}}$
例题3：计算 $\int_{0}^{\pi/2} \sin x\,dx$
解法分析：
这是一个常见的三角函数积分问题，可以直接利用基本积分公式：
$$
\int \sin x\,dx = -\cos x + C
$$
代入上下限：
$$
\left[ -\cos x \right]_0^{\pi/2} = -\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos(0) = -0 + 1 = 1
$$
答案： $\boxed{1}$
三、定积分的应用实例
定积分不仅用于计算面积，还能用于求解体积、平均值、功等实际问题。例如，在物理学中，若已知力随位移变化的函数，可以通过定积分计算出所做的功。
四、总结
通过以上例题的解析可以看出，定积分的计算虽然形式多样，但只要掌握基本方法和技巧，就能灵活应对各种题目。建议同学们多做练习，加深对定积分的理解，并注意在解题过程中养成良好的书写习惯和逻辑推理能力。
如需进一步了解不定积分、变限积分或反常积分等内容，欢迎继续关注“精品 定积分例题解析（3）”。
