（完整版）椭圆练习题（含答案）
在解析几何中，椭圆是一种重要的曲线图形，广泛应用于物理、工程和天文学等领域。掌握椭圆的基本性质和解题技巧是学好解析几何的关键一步。本篇文章将通过一系列精选的椭圆练习题，帮助大家巩固相关知识，并提供详细的解答过程。
练习题一：标准方程求解
已知椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a > b > 0$。若该椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，且短轴长度为 4，求长轴长度及焦点坐标。
解答：
根据题目条件，我们有：
- 短轴长度为 $2b = 4$，即 $b = 2$。
- 离心率公式为 $e = \frac{c}{a}$，其中 $c = \sqrt{a^2 - b^2}$。
代入已知条件 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$，可得：
$$
\frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}
$$
化简后得到：
$$
\sqrt{a^2 - 4} = \frac{\sqrt{3}}{2}a
$$
两边平方并整理，解得 $a = 4$。
因此，长轴长度为 $2a = 8$，焦点坐标为 $(\pm c, 0)$，其中 $c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{16 - 4} = 2\sqrt{3}$。
最终答案为：
$$
\boxed{\text{长轴长度为 8，焦点坐标为 } (\pm 2\sqrt{3}, 0)}
$$
练习题二：参数方程的应用
设椭圆的参数方程为：
$$
x = a \cos t, \quad y = b \sin t, \quad (t \in [0, 2\pi])
$$
若椭圆的半长轴 $a = 5$，半短轴 $b = 3$，求点 $(x, y)$ 在 $t = \frac{\pi}{4}$ 时的具体坐标。
解答：
将 $a = 5$ 和 $b = 3$ 代入参数方程：
$$
x = 5 \cos \frac{\pi}{4} = 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}
$$
$$
y = 3 \sin \frac{\pi}{4} = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}
$$
因此，点的坐标为：
$$
\boxed{\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2}\right)}
$$
练习题三：几何性质分析
已知椭圆的方程为 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$，判断下列陈述是否正确：
1. 椭圆的长轴平行于 $x$-轴。
2. 椭圆的焦距为 $2\sqrt{5}$。
3. 椭圆上的点到原点的最大距离为 3。
解答：
1. 椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a^2 = 9$，$b^2 = 4$。显然，$a > b$，所以长轴平行于 $x$-轴，陈述正确。
2. 焦距公式为 $2c$，其中 $c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}$。因此，焦距为 $2\sqrt{5}$，陈述正确。
3. 椭圆上的点到原点的最大距离为 $a = 3$，陈述正确。
最终答案为：
$$
\boxed{\text{全部正确}}
$$
以上三道练习题涵盖了椭圆的基本性质、参数方程应用以及几何性质分析。希望这些题目能够帮助大家更好地理解和掌握椭圆的相关知识。如果还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时留言交流！
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