在统计学中，一元线性回归是一种用来分析两个变量之间线性关系的方法。这种方法的核心在于建立一个数学模型，通过这个模型可以预测一个变量（通常称为因变量）如何随着另一个变量（自变量）的变化而变化。这种简单的线性关系可以用一个基本的数学公式来表示。

一元线性回归的基本公式为：

\[ y = a + bx \]

在这个公式中：

- \( y \) 表示因变量，即我们想要预测的结果。

- \( x \) 是自变量，即影响因变量的因素。

- \( b \) 是回归系数，它表示当自变量 \( x \) 改变一个单位时，因变量 \( y \) 的预期变化量。

- \( a \) 是截距项，即当 \( x=0 \) 时，\( y \) 的值。

为了找到最合适的 \( a \) 和 \( b \)，我们需要使用最小二乘法。这种方法的目标是使所有观测点到直线的距离平方和最小化。具体来说，就是通过以下公式计算 \( b \) 和 \( a \)：

\[ b = \frac{\sum{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}}{\sum{(x_i - \bar{x})^2}} \]

\[ a = \bar{y} - b\bar{x} \]

其中：

- \( x_i \) 和 \( y_i \) 分别是数据集中每个样本的自变量和因变量值。

- \( \bar{x} \) 和 \( \bar{y} \) 分别是所有 \( x_i \) 和 \( y_i \) 的平均值。

通过上述公式，我们可以得到一条最佳拟合直线，这条直线能够很好地描述自变量与因变量之间的关系。一元线性回归不仅简单易懂，而且广泛应用于各种领域，如经济学、生物学和社会科学等。它帮助研究人员理解变量间的因果关系，并对未来趋势进行预测。