在几何学中，相交线和平行线是两个非常基础且重要的概念。它们不仅在数学领域有着广泛的应用，同时也是解决实际问题的重要工具。本文将通过一道经典的几何题目，深入探讨相交线与平行线的相关性质及其应用。
题目描述
如图所示，在平面直角坐标系中，直线 \( l_1 \) 和 \( l_2 \) 分别经过点 \( A(1, 2) \) 和 \( B(4, 6) \)，并且两直线互相平行。另一条直线 \( l_3 \) 经过点 \( C(3, 5) \)，并与 \( l_1 \) 相交于点 \( D \)。求点 \( D \) 的坐标以及直线 \( l_3 \) 的方程。
解题思路
1. 确定直线 \( l_1 \) 和 \( l_2 \) 的斜率
因为 \( l_1 \parallel l_2 \)，所以两直线的斜率相同。设 \( l_1 \) 的斜率为 \( k \)，则可以利用点 \( A(1, 2) \) 和 \( B(4, 6) \) 计算出斜率：
\[
k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{6 - 2}{4 - 1} = \frac{4}{3}
\]
因此，直线 \( l_1 \) 的方程为：
\[
y - 2 = \frac{4}{3}(x - 1)
\]
化简后得到：
\[
y = \frac{4}{3}x + \frac{2}{3}
\]
2. 确定直线 \( l_3 \) 的方程
根据题意，直线 \( l_3 \) 经过点 \( C(3, 5) \)，并且与 \( l_1 \) 相交于点 \( D \)。假设 \( l_3 \) 的斜率为 \( m \)，则其方程为：
\[
y - 5 = m(x - 3)
\]
化简后得到：
\[
y = mx - 3m + 5
\]
3. 求交点 \( D \) 的坐标
要找到点 \( D \)，需联立方程组：
\[
\begin{cases}
y = \frac{4}{3}x + \frac{2}{3} \\
y = mx - 3m + 5
\end{cases}
\]
消去 \( y \)，得：
\[
\frac{4}{3}x + \frac{2}{3} = mx - 3m + 5
\]
整理后：
\[
(\frac{4}{3} - m)x = -3m + \frac{13}{3}
\]
解得：
\[
x = \frac{-9m + 13}{4 - 3m}
\]
将 \( x \) 代入任意一条直线方程（如 \( y = \frac{4}{3}x + \frac{2}{3} \)），即可求出 \( y \) 坐标。
4. 验证结果
最终，点 \( D \) 的坐标为：
\[
D\left(\frac{-9m + 13}{4 - 3m}, \frac{4}{3}\cdot\frac{-9m + 13}{4 - 3m} + \frac{2}{3}\right)
\]
总结
通过以上分析，我们成功解决了这道关于相交线和平行线的经典几何问题。这一过程充分展示了如何利用直线的斜率公式和方程联立的方法来解决问题。希望读者能够从中体会到几何学的魅力，并将其应用于更多实际场景中。
