【对数求导公式】在微积分中，对数求导法是一种常用的技巧，尤其适用于处理复杂函数的导数计算。通过对函数取自然对数，可以将乘积、商或幂的形式转化为加减形式，从而简化求导过程。本文将总结常见的对数求导公式，并通过表格形式清晰展示。
一、对数求导的基本原理
对数求导法的核心思想是：对于一个正函数 $ y = f(x) $，两边同时取自然对数，得到：
$$
\ln y = \ln f(x)
$$
然后对两边关于 $ x $ 求导，利用链式法则：
$$
\frac{1}{y} \cdot y' = \frac{d}{dx} [\ln f(x)
$$
最后解出 $ y' $，即为原函数的导数。
这种方法特别适用于以下情况：
- 函数是多个因子相乘或相除；
- 函数是幂函数，如 $ y = u(x)^{v(x)} $；
- 函数包含根号、指数等复杂结构。
二、常见对数求导公式总结
| 原函数形式 | 取对数后的表达式 | 导数公式（最终结果） |
| $ y = u(x)v(x) $ | $ \ln y = \ln u + \ln v $ | $ y' = y \left( \frac{u'}{u} + \frac{v'}{v} \right) $ |
| $ y = \frac{u(x)}{v(x)} $ | $ \ln y = \ln u - \ln v $ | $ y' = y \left( \frac{u'}{u} - \frac{v'}{v} \right) $ |
| $ y = [u(x)]^{v(x)} $ | $ \ln y = v \ln u $ | $ y' = y \left( v' \ln u + v \cdot \frac{u'}{u} \right) $ |
| $ y = e^{u(x)} $ | $ \ln y = u(x) $ | $ y' = y \cdot u'(x) $ |
| $ y = \sqrt{u(x)} $ | $ \ln y = \frac{1}{2} \ln u $ | $ y' = \frac{y}{2} \cdot \frac{u'}{u} $ |
三、使用注意事项
1. 定义域限制：对数函数只在正实数范围内有定义，因此原函数必须为正。
2. 导数的符号：对数求导后所得的导数可能为负值，需结合实际函数分析。
3. 避免错误操作：不能对0或负数取对数，否则会导致数学错误。
四、应用实例
例1：求 $ y = x^x $ 的导数
步骤：
- 取对数：$ \ln y = x \ln x $
- 求导：$ \frac{1}{y} y' = \ln x + 1 $
- 解得：$ y' = x^x (\ln x + 1) $
例2：求 $ y = \frac{(x+1)^2}{(x-1)^3} $ 的导数
步骤：
- 取对数：$ \ln y = 2 \ln(x+1) - 3 \ln(x-1) $
- 求导：$ \frac{1}{y} y' = \frac{2}{x+1} - \frac{3}{x-1} $
- 解得：$ y' = y \left( \frac{2}{x+1} - \frac{3}{x-1} \right) $
五、总结
对数求导法是一种简洁且高效的求导方法，尤其适用于复合函数和幂指函数的导数计算。掌握其基本原理与常用公式，有助于提升解题效率和准确性。在实际应用中，应结合具体函数形式灵活选择是否使用对数求导法。
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