【等比数列公式及推导】等比数列是数学中常见的一种数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数。这种数列在数学、物理、经济等领域都有广泛应用。本文将对等比数列的基本概念、通项公式、求和公式以及相关推导过程进行总结，并以表格形式清晰展示。
一、基本概念
等比数列（Geometric Sequence）是指从第二项起，每一项与它前一项的比值都相等的数列。这个固定的比值称为公比，通常用字母 $ q $ 表示。
- 首项：$ a_1 $
- 公比：$ q $
- 第 $ n $ 项：$ a_n $
二、通项公式
等比数列的第 $ n $ 项可以通过以下公式计算：
$$
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
$$
其中：
- $ a_1 $ 是首项，
- $ q $ 是公比，
- $ n $ 是项数。
三、求和公式
对于等比数列的前 $ n $ 项和 $ S_n $，当公比 $ q \neq 1 $ 时，有以下公式：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}
$$
或等价地：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}
$$
当 $ q = 1 $ 时，所有项都等于首项，因此：
$$
S_n = a_1 \cdot n
$$
四、推导过程
1. 通项公式的推导
设等比数列为 $ a_1, a_2, a_3, \dots, a_n $，则有：
$$
a_2 = a_1 \cdot q \\
a_3 = a_2 \cdot q = a_1 \cdot q^2 \\
a_4 = a_3 \cdot q = a_1 \cdot q^3 \\
\vdots \\
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
$$
由此可得通项公式：
$$
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
$$
2. 求和公式的推导
设等比数列前 $ n $ 项和为：
$$
S_n = a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + \cdots + a_1 q^{n-1}
$$
两边同时乘以公比 $ q $：
$$
q S_n = a_1 q + a_1 q^2 + \cdots + a_1 q^n
$$
两式相减：
$$
S_n - q S_n = a_1 - a_1 q^n \\
(1 - q) S_n = a_1 (1 - q^n) \\
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}
$$
五、总结表
| 项目 | 公式 |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $ |
| 前 $ n $ 项和（$ q \neq 1 $） | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} $ 或 $ S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} $ |
| 前 $ n $ 项和（$ q = 1 $） | $ S_n = a_1 \cdot n $ |
通过以上内容可以看出，等比数列的公式简洁而富有规律性，掌握其推导过程有助于深入理解数列的性质和应用。在实际问题中，合理运用这些公式可以简化计算，提高效率。
以上就是【等比数列公式及推导】相关内容，希望对您有所帮助。
