【常用序列z变换公式表】在数字信号处理中，z变换是一种重要的数学工具，用于分析和设计离散时间系统。它能够将时域中的离散序列转换为复频域中的表达式，便于进行系统分析、滤波器设计以及稳定性判断等操作。为了方便查阅和应用，以下整理了一些常用的离散序列及其对应的z变换公式。
一、总结说明
z变换的定义为：
$$
X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}
$$
其中 $x[n]$ 是离散时间序列，$z$ 是复变量。不同的序列具有不同的z变换形式，且通常伴随着收敛域（ROC）的限制。在实际应用中，了解这些基本序列的z变换有助于快速分析系统特性。
二、常用序列与z变换对照表
| 序列 $x[n]$ | z变换 $X(z)$ | 收敛域（ROC） | 备注 | ||||
| $\delta[n]$ | $1$ | 全平面 | 单位冲激序列 | ||||
| $u[n]$ | $\frac{z}{z - 1}$ | $ | z | > 1$ | 单位阶跃序列 | ||
| $a^n u[n]$ | $\frac{z}{z - a}$ | $ | z | > | a | $ | 指数序列 |
| $-a^n u[-n - 1]$ | $\frac{z}{z - a}$ | $ | z | < | a | $ | 左边指数序列 |
| $n u[n]$ | $\frac{z}{(z - 1)^2}$ | $ | z | > 1$ | 线性增长序列 | ||
| $n a^n u[n]$ | $\frac{az}{(z - a)^2}$ | $ | z | > | a | $ | 加权线性指数序列 |
| $\cos(\omega_0 n) u[n]$ | $\frac{z(z - \cos\omega_0)}{z^2 - 2z\cos\omega_0 + 1}$ | $ | z | > 1$ | 余弦序列 | ||
| $\sin(\omega_0 n) u[n]$ | $\frac{z\sin\omega_0}{z^2 - 2z\cos\omega_0 + 1}$ | $ | z | > 1$ | 正弦序列 | ||
| $\alpha^n \cos(\omega_0 n) u[n]$ | $\frac{z(z - \alpha \cos\omega_0)}{z^2 - 2\alpha z \cos\omega_0 + \alpha^2}$ | $ | z | > | \alpha | $ | 衰减余弦序列 |
三、注意事项
1. 收敛域（ROC） 是z变换的重要组成部分，决定了系统是否稳定。
2. 对于因果序列（如 $u[n]$），其ROC通常为 $
3. 在使用这些公式时，应结合具体应用背景选择合适的序列和变换形式。
通过掌握这些常用序列的z变换公式，可以更高效地进行数字系统的分析与设计，为后续的系统建模、滤波器设计和信号处理提供理论支持。
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