【高二数学试卷带答案解析】在高二阶段，数学作为一门重要的学科，不仅关系到学生的升学成绩，也对逻辑思维和问题解决能力的培养起着关键作用。为了帮助学生更好地掌握知识点、查漏补缺，一份高质量的数学试卷加上详细的答案解析显得尤为重要。
本试卷涵盖了高二数学的主要内容，包括但不限于函数、数列、三角函数、立体几何、概率与统计等模块，旨在全面考察学生的知识掌握情况和综合运用能力。试卷结构合理，题型多样，既有基础题也有一定难度的拓展题，能够有效检验学生的数学水平。
一、选择题（每小题3分，共15分）
1. 已知集合 $ A = \{x | x^2 - 4x + 3 < 0\} $，则集合 $ A $ 是（ ）
A. $ (1, 3) $
B. $ [1, 3] $
C. $ (-\infty, 1) \cup (3, +\infty) $
D. $ \emptyset $
解析：
解不等式 $ x^2 - 4x + 3 < 0 $，可因式分解为 $ (x - 1)(x - 3) < 0 $，解得 $ 1 < x < 3 $。因此，正确答案是 A。
2. 若 $ \sin\theta = \frac{1}{2} $，且 $ \theta \in (0, \pi) $，则 $ \theta = $（ ）
A. $ \frac{\pi}{6} $
B. $ \frac{\pi}{3} $
C. $ \frac{\pi}{6} $ 或 $ \frac{5\pi}{6} $
D. $ \frac{5\pi}{6} $
解析：
在区间 $ (0, \pi) $ 内，$ \sin\theta = \frac{1}{2} $ 的角有两个：$ \frac{\pi}{6} $ 和 $ \frac{5\pi}{6} $。所以正确答案是 C。
3. 已知等差数列 $ \{a_n\} $ 中，$ a_1 = 2 $，公差 $ d = 3 $，则第 10 项是（ ）
A. 29
B. 28
C. 30
D. 31
解析：
等差数列通项公式为 $ a_n = a_1 + (n-1)d $，代入得 $ a_{10} = 2 + 9 \times 3 = 29 $。正确答案是 A。
4. 已知向量 $ \vec{a} = (1, 2) $，$ \vec{b} = (3, -1) $，则 $ \vec{a} \cdot \vec{b} = $（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
解析：
向量点积公式为 $ \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 3 + 2 \times (-1) = 3 - 2 = 1 $。正确答案是 A。
5. 某班有 50 名学生，其中男生 30 人，女生 20 人。从中任选一人，选中女生的概率是（ ）
A. $ \frac{2}{5} $
B. $ \frac{3}{5} $
C. $ \frac{1}{2} $
D. $ \frac{1}{3} $
解析：
女生人数为 20，总人数为 50，概率为 $ \frac{20}{50} = \frac{2}{5} $。正确答案是 A。
二、填空题（每小题4分，共20分）
6. 函数 $ f(x) = \log_2(x - 1) $ 的定义域是 ________。
解析：
对数函数的定义域要求 $ x - 1 > 0 $，即 $ x > 1 $。答案是 $ (1, +\infty) $。
7. 已知 $ \tan\theta = \sqrt{3} $，则 $ \theta = $ ________（写出一个可能的值）。
解析：
$ \tan\theta = \sqrt{3} $ 对应的角度为 $ \frac{\pi}{3} $。答案可以是 $ \frac{\pi}{3} $。
8. 若 $ a + b = 5 $，$ ab = 6 $，则 $ a^2 + b^2 = $ ________。
解析：
利用公式 $ a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab $，代入得 $ 25 - 12 = 13 $。答案是 13。
9. 直线 $ y = 2x + 1 $ 的斜率是 ________。
解析：
直线方程 $ y = kx + b $ 中，斜率为 $ k $。答案是 2。
10. 从 1 到 10 中任取两个不同的数，这两个数之和为偶数的概率是 ________。
解析：
总共有 $ C(10, 2) = 45 $ 种组合。两数之和为偶数的情况是两奇或两偶。奇数有 5 个，偶数有 5 个，组合数为 $ C(5,2) + C(5,2) = 10 + 10 = 20 $。概率为 $ \frac{20}{45} = \frac{4}{9} $。答案是 $ \frac{4}{9} $。
三、解答题（共35分）
11. 解不等式 $ \frac{x - 2}{x + 1} > 0 $。（10分）
解析：
该不等式可转化为分式不等式，考虑分子分母的符号变化。
当 $ x > 2 $ 或 $ x < -1 $ 时，分式大于 0。
解集为：$ (-\infty, -1) \cup (2, +\infty) $。
12. 在三角形 ABC 中，已知 $ AB = 5 $，$ AC = 7 $，$ \angle BAC = 60^\circ $，求 BC 的长度。（10分）
解析：
使用余弦定理：
$$
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(60^\circ)
$$
$$
= 25 + 49 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39
$$
$$
BC = \sqrt{39}
$$
13. 设 $ f(x) = x^3 - 3x + 2 $，求其极值点及极值。（15分）
解析：
求导得 $ f'(x) = 3x^2 - 3 $，令导数为 0：
$$
3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1
$$
再判断极值：
- 当 $ x = 1 $ 时，$ f(1) = 1 - 3 + 2 = 0 $
- 当 $ x = -1 $ 时，$ f(-1) = -1 + 3 + 2 = 4 $
因此，极小值为 0，极大值为 4。
通过这份试卷的练习与答案解析，可以帮助学生巩固基础知识，提升解题技巧，并为即将到来的考试做好充分准备。希望同学们认真复习，查漏补缺，取得理想的成绩！
