【离散数学作业3答案】在学习离散数学的过程中，作业是巩固知识、提升逻辑思维能力的重要方式。本次作业3主要围绕集合论、关系与函数、图论等基础内容展开，旨在帮助学生深入理解离散结构的基本概念和应用方法。以下是对本作业中部分题目的解答与分析。
一、集合与运算
题目1：设集合 A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求 A ∪ B 和 A ∩ B。
解答：
A ∪ B 表示集合 A 和 B 的并集，即所有属于 A 或 B 的元素组成的集合。
A ∪ B = {1, 2, 3, 4}
A ∩ B 表示集合 A 和 B 的交集，即同时属于 A 和 B 的元素组成的集合。
A ∩ B = {2, 3}
二、关系与性质
题目2：给定集合 A = {1, 2, 3}，定义关系 R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}，判断 R 是否为自反的、对称的、传递的。
解答：
- 自反性：对于任意 a ∈ A，若 (a, a) ∈ R，则 R 是自反的。
在本例中，(1,1), (2,2), (3,3) 都在 R 中，因此 R 是自反的。
- 对称性：若 (a, b) ∈ R，则 (b, a) 也必须在 R 中。
在本例中，所有有序对都是 (a, a)，显然满足对称性，因此 R 是对称的。
- 传递性：若 (a, b) ∈ R 且 (b, c) ∈ R，则 (a, c) 必须也在 R 中。
在本例中，由于所有元素都只与自身相关，传递性自然成立，因此 R 是传递的。
三、函数与映射
题目3：设 f: A → B 是一个函数，其中 A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c}，f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c。判断该函数是否为单射、满射或双射。
解答：
- 单射（Injective）：每个不同的输入对应不同的输出。
在本例中，f(1) ≠ f(2) ≠ f(3)，因此 f 是单射的。
- 满射（Surjective）：B 中的每一个元素至少有一个原像。
B = {a, b, c}，而 f 分别将 1, 2, 3 映射到 a, b, c，因此 f 是满射的。
- 双射（Bijective）：既是单射又是满射。
因此，f 是双射函数。
四、图论基础
题目4：给出一个简单无向图 G，其顶点数为 5，边数为 6。判断该图是否为连通图，并说明理由。
解答：
一个简单无向图的边数最多为 C(n, 2) = 10（当 n=5 时）。本题中边数为 6，小于最大值，因此图是简单的。
要判断是否为连通图，需看是否存在路径连接所有顶点。
如果图中存在一个连通子图包含所有顶点，则为连通图。
但由于题目未给出具体边的连接情况，无法直接判断。因此，仅凭边数不能确定是否为连通图，需要进一步分析图的结构。
总结
本次作业涵盖了集合、关系、函数以及图论的基础知识，有助于加深对离散数学核心概念的理解。通过完成这些题目，不仅能够检验自身的掌握程度，还能培养严谨的逻辑推理能力。建议在后续的学习中多加练习，尤其是图论与关系的性质分析，这对后续学习算法设计、数据结构等内容具有重要意义。
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