【九年级数学(人教版（附答案)）】在初中阶段的数学学习中，九年级是关键的一年，它不仅是对初中知识的总结与提升，更是为高中数学打下坚实基础的重要阶段。人教版九年级数学教材内容丰富、逻辑严谨，涵盖了二次函数、圆、概率初步、相似三角形等多个重要知识点，帮助学生逐步构建起系统的数学思维能力。
本部分内容围绕人教版九年级数学教材的核心章节展开，结合典型例题与解析，旨在帮助学生更好地理解知识点、掌握解题技巧，并通过练习巩固所学内容。每一道题目都配有详细的解答过程，便于学生自查自纠，提高学习效率。
一、二次函数
知识点回顾：
二次函数的一般形式为 $ y = ax^2 + bx + c $，其中 $ a \neq 0 $。其图像是抛物线，顶点坐标为 $ \left( -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right) $，对称轴为直线 $ x = -\frac{b}{2a} $。
例题1：
已知抛物线 $ y = x^2 - 4x + 3 $，求其顶点坐标和对称轴。
解析：
根据公式，顶点横坐标为
$$
x = -\frac{-4}{2 \times 1} = 2
$$
代入原式得纵坐标：
$$
y = (2)^2 - 4 \times 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1
$$
因此，顶点坐标为 $ (2, -1) $，对称轴为 $ x = 2 $。
答案：
顶点坐标为 $ (2, -1) $，对称轴为 $ x = 2 $。
二、圆的相关性质
知识点回顾：
圆的定义是到定点距离等于定长的所有点的集合。圆心决定位置，半径决定大小。常见的性质包括：垂径定理、圆周角定理、切线的判定与性质等。
例题2：
如图，在⊙O中，AB是直径，C是圆上一点，∠ACB = 90°，若 AB = 10 cm，求 AC 的长度。
解析：
由圆周角定理可知，直径所对的圆周角是直角，所以△ABC 是直角三角形，且 AB 为斜边。设 AC = x，则 BC = √(AB² - AC²) = √(100 - x²)。但题目未给出其他条件，无法直接计算具体数值。若题目中还给出 BC 或其他信息，则可进一步求解。
答案：
由于缺少具体数据，无法计算 AC 的精确长度。
三、概率初步
知识点回顾：
概率是研究随机事件发生的可能性大小的数学分支。古典概型中，事件的概率为该事件发生的结果数除以所有可能结果的总数。
例题3：
一个不透明的口袋中有 5 个红球、3 个蓝球和 2 个绿球，从中随机摸出一个球，求摸到红球的概率。
解析：
总球数为 $ 5 + 3 + 2 = 10 $，红球有 5 个，因此摸到红球的概率为
$$
P(\text{红球}) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}
$$
答案：
摸到红球的概率为 $ \frac{1}{2} $。
四、相似三角形
知识点回顾：
两个三角形如果对应角相等、对应边成比例，则它们相似。相似三角形的性质包括对应高的比、面积的比等于相似比的平方。
例题4：
已知△ABC ∽ △DEF，且 AB : DE = 2 : 3，若△ABC 的面积为 8 cm²，求△DEF 的面积。
解析：
相似比为 2 : 3，面积比为 $ (2/3)^2 = 4/9 $。设△DEF 的面积为 S，则
$$
\frac{8}{S} = \frac{4}{9} \Rightarrow S = \frac{8 \times 9}{4} = 18 \text{ cm}^2
$$
答案：
△DEF 的面积为 18 cm²。
五、总结
九年级数学内容广泛，涉及代数、几何、概率等多个方面。通过系统的学习与练习，可以有效提升学生的数学素养和综合应用能力。建议同学们在学习过程中注重理解概念、归纳方法、多做练习，逐步形成自己的解题思路和应试技巧。
附答案：
1. 顶点坐标为 $ (2, -1) $，对称轴为 $ x = 2 $；
2. 摸到红球的概率为 $ \frac{1}{2} $；
3. △DEF 的面积为 18 cm²。
