在学习概率论的过程中，复习是巩固知识、提升理解的重要环节。为了帮助同学们更好地掌握课程内容，以下是一些典型复习题的解答与解析，旨在加深对基本概念和方法的理解。
一、基本概念题
题目1：
设事件A与B互斥，且P(A) = 0.3，P(B) = 0.5，求P(A ∪ B)。
解答：
由于A与B互斥，即A∩B=∅，因此：
$$
P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0.3 + 0.5 = 0.8
$$
题目2：
已知P(A) = 0.6，P(B) = 0.4，P(A ∩ B) = 0.2，求P(A|B)。
解答：
条件概率公式为：
$$
P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.2}{0.4} = 0.5
$$
二、随机变量与分布函数
题目3：
设X是一个离散型随机变量，其概率分布为：
| X | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| P | 0.2 | 0.5 | 0.3 |
求E(X)和Var(X)。
解答：
期望值计算公式为：
$$
E(X) = 0 \times 0.2 + 1 \times 0.5 + 2 \times 0.3 = 0 + 0.5 + 0.6 = 1.1
$$
方差计算公式为：
$$
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
先计算E(X²)：
$$
E(X^2) = 0^2 \times 0.2 + 1^2 \times 0.5 + 2^2 \times 0.3 = 0 + 0.5 + 1.2 = 1.7
$$
所以：
$$
Var(X) = 1.7 - (1.1)^2 = 1.7 - 1.21 = 0.49
$$
三、常见分布应用
题目4：
某工厂生产的产品次品率为0.05，从一批产品中随机抽取10件，求恰好有1件次品的概率。
解答：
这是一个二项分布问题，参数n=10，p=0.05，求P(X=1)。
$$
P(X=1) = C_{10}^1 \cdot (0.05)^1 \cdot (0.95)^9
$$
计算得：
$$
C_{10}^1 = 10, \quad (0.05)^1 = 0.05, \quad (0.95)^9 \approx 0.6302
$$
$$
P(X=1) \approx 10 \times 0.05 \times 0.6302 = 0.3151
$$
四、大数定律与中心极限定理
题目5：
设X₁, X₂, ..., Xₙ为独立同分布的随机变量，均值为μ，方差为σ²，当n足够大时，X̄的分布近似服从什么分布？
解答：
根据中心极限定理，当n足够大时，样本均值X̄的分布近似服从正态分布，即：
$$
\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)
$$
五、综合应用题
题目6：
设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，已知P(X=0) = e^{-λ}，求P(X ≥ 1)。
解答：
由泊松分布的定义可知：
$$
P(X = 0) = e^{-\lambda}
$$
因此，
$$
P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - e^{-\lambda}
$$
通过以上练习题的解答与分析，可以加强对概率论基本概念、分布类型以及实际应用的理解。建议在复习过程中多做题、多总结，逐步提升解题能力与逻辑思维水平。
