一、教学目标
1. 知识与技能目标：
- 理解等比数列的定义，掌握其通项公式和前n项和公式的推导过程。
- 能够根据实际问题判断数列是否为等比数列，并进行相关计算。
2. 过程与方法目标：
- 通过观察、归纳、类比等方式，培养学生的数学思维能力。
- 引导学生运用等比数列的知识解决实际问题，提升应用意识。
3. 情感态度与价值观目标：
- 激发学生对数学的兴趣，增强学习信心。
- 培养学生严谨的思维习惯和合作探究的精神。
二、教学重点与难点
- 教学重点：
- 等比数列的定义及通项公式。
- 等比数列前n项和公式的推导与应用。
- 教学难点：
- 等比数列前n项和公式的理解与灵活运用。
- 在实际问题中识别等比数列并建立数学模型。
三、教学准备
- 教材：人教版高中数学必修五
- 教具：多媒体课件、黑板、练习题纸
- 学生准备：预习等比数列的基本概念
四、教学过程
1. 导入新课（5分钟）
情境引入：
教师展示一个生活中的例子：“假设你有一个存钱罐，每个月存入的钱是上个月的两倍，第一个月存1元，第二个月存2元，第三个月存4元……”引导学生思考这样的数列有什么规律。
提问：
“这个数列有什么特点？每项与前一项之间有什么关系？”
引导学生发现每一项都是前一项的2倍，从而引出等比数列的概念。
2. 新知讲解（20分钟）
（1）等比数列的定义
定义：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，通常用q表示。
符号表示：
设数列为 $ a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots $，若满足
$$
\frac{a_{n}}{a_{n-1}} = q \quad (n \geq 2)
$$
则该数列为等比数列，q为公比。
注意：
- 公比q ≠ 0
- 首项 $ a_1 \neq 0 $
（2）等比数列的通项公式
推导过程：
已知 $ a_1 $，公比为q，则：
$$
a_2 = a_1 \cdot q \\
a_3 = a_2 \cdot q = a_1 \cdot q^2 \\
a_4 = a_3 \cdot q = a_1 \cdot q^3 \\
\vdots \\
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
$$
通项公式：
$$
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
$$
举例说明：
若首项为3，公比为2，则第5项为：
$$
a_5 = 3 \cdot 2^{4} = 3 \cdot 16 = 48
$$
（3）等比数列的前n项和公式
公式推导：
设等比数列的前n项和为 $ S_n $，即：
$$
S_n = a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + \cdots + a_1 q^{n-1}
$$
利用错位相减法：
$$
S_n = a_1(1 + q + q^2 + \cdots + q^{n-1}) \\
qS_n = a_1(q + q^2 + \cdots + q^n) \\
S_n - qS_n = a_1(1 - q^n) \\
S_n(1 - q) = a_1(1 - q^n) \\
S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} \quad (q \neq 1)
$$
当 $ q = 1 $ 时，数列为常数列，$ S_n = n a_1 $
3. 例题解析（15分钟）
例1：
已知等比数列的首项为5，公比为3，求第7项和前5项和。
解：
- 第7项：
$$
a_7 = 5 \cdot 3^{6} = 5 \cdot 729 = 3645
$$
- 前5项和：
$$
S_5 = \frac{5(1 - 3^5)}{1 - 3} = \frac{5(1 - 243)}{-2} = \frac{5 \cdot (-242)}{-2} = 605
$$
例2：
某公司去年产值为100万元，每年以5%的速度增长，问5年后产值是多少？
分析：
这是一个等比数列问题，首项为100，公比为1.05，求第5项。
解：
$$
a_5 = 100 \cdot (1.05)^4 \approx 100 \cdot 1.2155 \approx 121.55 \text{万元}
$$
4. 巩固练习（10分钟）
题目：
1. 已知等比数列的首项为2，公比为-3，求第4项和前3项和。
2. 求等比数列：1, 2, 4, 8, 16,… 的第10项和前10项和。
3. 若等比数列的前3项和为14，前三项分别为a, aq, aq²，求a和q。
5. 小结与作业（5分钟）
小结：
- 等比数列的定义、通项公式和前n项和公式是本节课的重点内容。
- 掌握了如何将实际问题转化为等比数列模型进行求解。
作业布置：
1. 完成课本P60页第3、5、7题。
2. 思考题：若一个等比数列的第2项为6，第5项为48，求首项和公比。
五、教学反思
本节课通过生活实例引入等比数列的概念，激发学生兴趣；通过公式推导和例题讲解，帮助学生理解知识点；结合练习巩固，提高学生的应用能力。在今后的教学中，应加强学生对公比正负号的理解，以及对特殊情况下（如q=1）的处理。
