在高中数学的学习过程中，函数是一个非常重要的知识点。它不仅是代数的核心内容之一，也是后续学习导数、极限、三角函数等知识的基础。掌握好函数的相关概念和解题技巧，对于提升数学成绩至关重要。

本练习题旨在帮助同学们巩固函数的基本知识，提高分析问题和解决问题的能力。题目涵盖函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数以及函数图像的变换等多个方面，适合高一或高二学生进行自我检测与复习。

一、选择题（每题5分，共20分）

1. 下列各组中，哪一组表示的是同一个函数？

A. $ f(x) = x $，$ g(x) = \sqrt{x^2} $

B. $ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} $，$ g(x) = x + 1 $

C. $ f(x) = |x| $，$ g(x) = \sqrt{x^2} $

D. $ f(x) = \log_2 x $，$ g(x) = \frac{\ln x}{\ln 2} $

2. 函数 $ y = \frac{1}{x - 2} $ 的定义域是：

A. $ (-\infty, 2) $

B. $ (2, +\infty) $

C. $ (-\infty, 2) \cup (2, +\infty) $

D. $ \mathbb{R} $

3. 已知函数 $ f(x) = 2x + 3 $，则 $ f(f(1)) = $

A. 5

B. 7

C. 9

D. 11

4. 若函数 $ f(x) = x^2 + bx + c $ 是偶函数，则 $ b $ 的值为：

A. 0

B. 1

C. -1

D. 2

二、填空题（每空5分，共20分）

5. 函数 $ y = \sqrt{x - 3} $ 的定义域是 ________。

6. 若函数 $ f(x) = x^3 - 2x $，则 $ f(-x) = $ ________。

7. 函数 $ y = \frac{1}{x} $ 的图像关于 ________ 对称。

8. 已知函数 $ f(x) = 2x - 1 $，其反函数为 ________。

三、解答题（每题10分，共30分）

9. 求函数 $ y = \frac{x^2 - 4}{x - 2} $ 的定义域，并化简该函数表达式。

10. 已知函数 $ f(x) = 3x^2 - 6x + 5 $，求其最小值及对应的 $ x $ 值。

11. 判断函数 $ f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} $ 的奇偶性，并说明理由。

四、拓展题（10分）

12. 已知函数 $ f(x) = ax + b $ 是一次函数，且满足 $ f(1) = 3 $，$ f(2) = 5 $，求 $ a $ 和 $ b $ 的值。

参考答案（供练习后核对）

一、选择题

1. C

2. C

3. C

4. A

二、填空题

5. $ [3, +\infty) $

6. $ -x^3 + 2x $

7. 原点

8. $ f^{-1}(x) = \frac{x + 1}{2} $

三、解答题

9. 定义域：$ x \neq 2 $；化简后为 $ y = x + 2 $（$ x \neq 2 $）

10. 最小值为 2，对应 $ x = 1 $

11. 奇函数，因为 $ f(-x) = -f(x) $

四、拓展题

12. $ a = 2 $，$ b = 1 $

通过这些练习题，希望同学们能够更好地理解函数的本质与应用，逐步提升自己的数学思维能力和解题技巧。建议在完成练习后，认真对照答案进行反思，查漏补缺，不断进步。