在数学和物理领域中，向量是一个非常重要的概念。它不仅用于描述空间中的方向和大小，还广泛应用于工程学、计算机图形学以及物理学等多个学科。本文将对一些常用的向量公式进行汇总，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。

向量的基本定义

向量可以表示为一个有序的数对或数组，通常记作 \(\vec{v} = (v_1, v_2, ..., v_n)\)，其中 \(n\) 表示向量的维度。例如，在二维平面上，\(\vec{v} = (3, 4)\) 表示一个从原点出发指向 (3, 4) 的箭头。

向量的加法与减法

- 加法：两个向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 的和定义为对应分量相加：

\[

\vec{a} + \vec{b} = (a_1+b_1, a_2+b_2, ..., a_n+b_n)

\]

- 减法：两个向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 的差定义为对应分量相减：

\[

\vec{a} - \vec{b} = (a_1-b_1, a_2-b_2, ..., a_n-b_n)

\]

标量乘法

当一个标量（即普通数字）与一个向量相乘时，结果是每个分量都乘以该标量：

\[

k \cdot \vec{v} = (k \cdot v_1, k \cdot v_2, ..., k \cdot v_n)

\]

向量的模长

向量的模长（或称为长度）表示从原点到该向量终点的距离，计算公式如下：

\[

|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + ... + v_n^2}

\]

单位向量

单位向量是指具有单位长度的向量，可以通过将任意非零向量除以其模长得到：

\[

\hat{u} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}

\]

点积（内积）

点积是一种特殊的代数运算，用于衡量两个向量之间的相似程度。其结果是一个标量值：

\[

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n

\]

此外，点积还可以通过角度来表示：

\[

\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}

\]

其中 \(\theta\) 是两向量之间的夹角。

叉积（外积）

叉积仅适用于三维空间中的向量，并返回另一个三维向量。其方向由右手定则决定，大小等于两个输入向量构成平行四边形面积：

\[

\vec{a} \times \vec{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3

\end{vmatrix}

= (a_2b_3-a_3b_2, a_3b_1-a_1b_3, a_1b_2-a_2b_1)

\]

以上就是一些常见的向量相关公式总结。掌握这些基础知识对于进一步学习高级数学理论及实际问题解决都至关重要。希望本篇文章能为大家提供一定的参考价值！