在高中数学的学习过程中，对数函数是一个非常重要的知识点。它不仅在理论上有深远的意义，在实际应用中也扮演着不可或缺的角色。本文将通过一些典型的习题来帮助大家更好地理解和掌握对数函数的相关知识，并提供详细的答案解析。
习题一：基本性质的应用
题目：已知函数 \( f(x) = \log_a(x) \)，其中 \( a > 0 \) 且 \( a \neq 1 \)，求当 \( x=8 \) 时，\( f(8) \) 的值。
解析：
根据对数函数的定义，\( \log_a(x) \) 表示以 \( a \) 为底 \( x \) 的对数。若未明确给出 \( a \) 的具体值，则通常假设 \( a=e \)（自然对数）。因此，当 \( x=8 \) 时，
\[ f(8) = \ln(8) \]
利用计算器或查表可得，
\[ \ln(8) \approx 2.079 \]
所以，\( f(8) \approx 2.079 \)。
习题二：对数运算规则
题目：计算 \( \log_2(32) + \log_2(4) - \log_2(8) \)
解析：
利用对数的基本运算规则：
- 加法法则：\( \log_b(M) + \log_b(N) = \log_b(MN) \)
- 减法法则：\( \log_b(M) - \log_b(N) = \log_b\left(\frac{M}{N}\right) \)
首先合并加法部分：
\[ \log_2(32) + \log_2(4) = \log_2(32 \times 4) = \log_2(128) \]
然后进行减法操作：
\[ \log_2(128) - \log_2(8) = \log_2\left(\frac{128}{8}\right) = \log_2(16) \]
最后，我们知道 \( 16 = 2^4 \)，因此：
\[ \log_2(16) = 4 \]
答案是：\( 4 \)。
习题三：对数方程求解
题目：解方程 \( \log_3(x+1) = 2 \)
解析：
由对数方程的定义可知，\( \log_3(x+1) = 2 \) 等价于：
\[ x+1 = 3^2 \]
计算右侧结果：
\[ x+1 = 9 \]
移项得到：
\[ x = 8 \]
验证：将 \( x=8 \) 代入原方程，确实满足条件。
\[ \log_3(8+1) = \log_3(9) = 2 \]
答案是：\( x=8 \)。
通过对以上几道典型习题的解答，我们可以看到对数函数虽然看似复杂，但只要掌握了其基本性质和运算法则，就可以轻松应对各种问题。希望这些练习能够帮助同学们加深理解，并在考试中取得优异成绩！
