在学习复变函数的过程中，第一章通常会涉及一些基础概念和简单的计算练习。这部分内容对于理解后续章节非常重要，因此完成课后习题是巩固知识的好方法。以下是一些典型习题及其解答过程。
例题1：复数的基本运算
题目：已知两个复数 $ z_1 = 3 + 4i $ 和 $ z_2 = 2 - i $，求 $ z_1 + z_2 $ 和 $ z_1 \cdot z_2 $。
解答：
- 加法：$ z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (2 - i) = (3 + 2) + (4i - i) = 5 + 3i $
- 乘法：$ z_1 \cdot z_2 = (3 + 4i)(2 - i) = 6 - 3i + 8i - 4i^2 = 6 + 5i + 4 = 10 + 5i $
因此，结果为：
$$
z_1 + z_2 = 5 + 3i, \quad z_1 \cdot z_2 = 10 + 5i
$$
例题2：复数的模与共轭
题目：设复数 $ z = 1 - 2i $，求其模 $ |z| $ 和共轭复数 $ \overline{z} $。
解答：
- 模：$ |z| = \sqrt{\text{Re}(z)^2 + \text{Im}(z)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} $
- 共轭复数：$ \overline{z} = 1 + 2i $
因此，结果为：
$$
|z| = \sqrt{5}, \quad \overline{z} = 1 + 2i
$$
例题3：复数的指数形式
题目：将复数 $ z = -\sqrt{3} + i $ 表示为指数形式。
解答：
复数 $ z = -\sqrt{3} + i $ 的极坐标形式为 $ r e^{i\theta} $，其中：
- 模：$ r = |z| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2 $
- 辐角：$ \theta = \arctan\left(\frac{\text{Im}(z)}{\text{Re}(z)}\right) = \arctan\left(\frac{1}{-\sqrt{3}}\right) = \frac{5\pi}{6} $（第二象限）
因此，复数的指数形式为：
$$
z = 2e^{i\frac{5\pi}{6}}
$$
通过以上几道例题，我们可以看到复变函数第一章的重点在于掌握复数的基本运算、模与共轭以及指数形式的转换。希望这些解答能帮助大家更好地理解和复习相关内容。如果还有其他疑问，欢迎继续探讨！
